Depende. Você pode fazer blog completamente grátis no Google Blogger- 100% seguro e profissional. Veja Como criar um blog Google rapidamente (VÍDEO)
Fazendo um blog grátis no Blogger, que é do Google. Você pode instalar seu próprio domínio. Domínio é isso (http://criarblogsite.com ). Um domínio, ou URL custa uns 10 dólares. Mas você tem que pagar isso ou mais se tiver aumento todo ano. Veja aqui como instalar seu domínio no Blogger (Como instalar domínio próprio em blog Blogger (vídeo)
Se você não tem dinheiro para um pequeno investimento inicial recomendo usar o Blogger. Tem uma infinidade de recursos, layout bonito e profissional. Clique aqui para saber como instalar template, layout e como usar outros recursos para melhorar o desempenho do seu blog blogger
FAZER BLOG NO WORDPRESS – PRÓS E CONTRAS
Você pode fazer no WordPress.com, também grátis, mas com algumas limitações, como por exemplo o uso de plugins. Veja aqui (Como instalar um blog WordPress Grátis, sem hosting )
WordPress é mais recomendado para quem pode pagar uma hospedagem. Uma hospedagem de blog ,a mais barata, custa a partir de 10 na Hostgator que é uma das melhores. Tem outras por ai, mas geralmente não funcionam bem. Lembre: esse preço é mensal. Ou seja você precisa ter um pouco de dinheiro para o investimento inicial. Se não tem, crie seu blog no Google Blogger. Veja aqui Como Escolher a hosting certa para seu blog ou site